몬티홀 문제의 증명 [파이썬]

몬티홀 문제가 뭘까요?

 

간단하게 확률 문제입니다. 사람을 단번에 호구로 만들어 버릴 수 있지만 말입니다.

 

'인간은 합리적이다!'라는 관점으로 보는 주류 경제학의 뒤통수를 때려버린 재밌는 문제입니다.

'반드시 합리적이지는 않다!'라는 관점으로 보는 행동 경제학에게 힘을 실어주는 문제이기도 합니다.

 

본론으로 들어와서 몬티홀 문제에 대해 이야기 해봅시다.

---

 

 

당신이 고를 수 있는 문이 3개있다.

1개의 문에는 람보르기니.

그 중 2개의 문에는 염소.

 

사회자가 당신보고 문을 1개 선택하라한다.

문을 열고 나온 물체는 당신 소유라고 한다.

 

당신이 문 1개를 선택했다고 치자. 그 때 사회자가 염소가 있는 아무 문 1개를 열어버렸다.

 

여기서 사회자가 말하기를 "기회 줄테니. 선택한 문 바꿔도 됨. 할래 말래?"

 

자 진짜로 선택의 순간이 왔다.

 

선택한 문을 고수할 것인가. 변경할 것인가.

 

따지고 보면 결국엔 두 문만 남은것 아닌가?

겉으로 보는 이 문제의 확률 결과는 각각 50%로 보인다.

 

그래서 50%아니냐고? 한번 실험해보자. 파이썬으로 증명이 가능하다.

 

import random

n = int(input("please write here number of games to be played : "))
m = [1,2,3]
i=0
a=0
b=0
a1=0
b1=0
for i in range(n):
    i=i+1
    random.shuffle(m) #a[0]= 1, a[1]=0, a[2]=0 *1 for winning, 0 for bang.*
    
    x = int(random.uniform(1,4)) # your choice
# when not change selection.
    if x == m[0]:
        a=a+1
        #print("you win")
    elif x == m[1]:
        b=b+1
        #print("you lose")
    else:
        #print("you lose")
        b=b+1

# when change selection.
    if x == m[0]:
        a1=a1+1
        #print("you lose")
    elif x == m[1]:
        b1=b1+1
        #print("you win")
    else:
        #print("you win")
        b1=b1+1

#when not change selection.
hap=int((a/(a+b))*100)
print("in "+str(n)+" games when not change")
print("selection was you win percentage : "+str(hap)+"% \n")

#when change selection.
hap1=int((b1/(a1+b1))*100)
print("in "+str(n)+" games when change")
print("selection was you win percentage : "+str(hap1)+"%")

#done

 

n번의 게임 동안

'고수', '변경'의 선택 평균 승률을 구하는 코딩이다.

 

게임을 1번 만 돌려보자.

 

 

 

 

안타깝게도 '고수'의 선택이 이겼다. 그러나 이걸론 신뢰할 수 없다.

 

좀 더 반복 시행하여 평균을 가져보자.

 

10번 만 돌려보자.

 

'고수'의 승률이 더 높다. 정말인가? 더 돌려보자.

 

100회 게임을 진행한다.

 

이번엔 '변경'의 선택이 이겼다.

 

1000회 가보자.

 

아까와 변화가 거의 없다. 10000회 가보자.

 

정확히 1:2 비율이 나왔다. 게임 횟수를 더 높여도 변함이 없는 비율 이었다.

 

필자는 이 문제를 처음 봤을 때 '고수'의 선택이 더 나은 결과라고 판단했었는데 보기 좋게 틀렸다.

 

그래서 이 결과가 말하고자 하는게 뭘까?

왜 선택을 바꾼놈이 고수한놈 보다 2배 승률이 높냐는 말이다.

 

 

조건부 확률로 보면 경우의 수가 다음 표와 같이 정리할 수 있다.

 

당첨	당첨	꽝
꽝	당첨	꽝
꽝	꽝	당첨

0은 사회자가 꽝을 열어버린 문이다.

T이 색은 당신이 고른 문이다.

 

자 선택을 고수해보자. 파란글자 확률은? 1/3이다.

자 선택을 바꿔보자. 검은 글자를 선택한 것이다. 2/3이다.

 

만약 문의 수가 많아진다면 어떤 일이 벌어질까?

1만개의 문과 당첨 1개. 9,999개의 꽝 문을 열어버린다. 선택을 고수할 것인가? 변경할 것인가?